Matematiker spricker 44 år gammal problem

You Bet Your Life: Secret Word - Door / Heart / Water (Maj 2019).

Anonim

Israel Institute of Technology och Alexandr Polyanskii från Moskva Institute of Physics and Technology (MIPT) har visat sig László Fejes Tóths zonföreställning. Formulerades 1973, säger det att om en aggregatsula är helt täckt av flera zoner, är deras kombinerade bredd åtminstone π. Beviset, som publiceras i tidskriften Geometric and Functional Analysis, är viktigt för diskret geometri och gör det möjligt för matematiker att formulera nya problem.

Diskret geometri studerar de kombinatoriska egenskaperna hos punkter, linjer, cirklar, polygoner och andra geometriska objekt. Vad är det största antalet lika stora bollar som kan passa runt en annan boll av samma storlek? Vad är det tätaste sättet att packa lika stora cirklar i ett plan eller bollar i ett innehållande utrymme? Dessa frågor och andra behandlas av diskret geometri.

Lösningar på problem som dessa har praktiska tillämpningar. Således har det täta förpackningsproblemet hjälpt till att optimera kodning och korrigering av fel i datatransmission. Ett annat exempel är fyrfärgssatsen, som säger att fyra färger är tillräckliga för att plotta någon karta på en sfär så att inga två intilliggande regioner har samma färg. Det har lett till att matematiker introducerar begrepp som är viktiga för grafteori, vilket är avgörande för många av de senaste utvecklingen inom kemi, biologi och datavetenskap samt logistiksystem.

Tóths zonföreställning är nära relaterad till ett antal andra problem i diskret geometri som löstes på 20-talet och som täckte en yta med remsor. Den första bland dem var det så kallade plankproblemet, vilket involverade att täcka en skiva med remsor avgränsade av parallella linjer. Alfred Tarski och Henryk Moese erbjöd ett enkelt bevis som visar att den kombinerade bredden av dessa remsor eller plankor inte kan överstiga diskens diameter. Det vill säga det finns inget bättre sätt att täcka en skiva än med en enda plank vars bredd är lika med skivans diameter. Thoker Bang löste sedan problemet med att täcka en godtycklig konvex kropp med remsor. Namnlösa: Han bevisade att den kombinerade bredden av remsorna som täcker en konvex kropp är åtminstone själva kroppens bredd, det vill säga den minsta bredden på en enda remsa som täcker kroppen.

Problemet som författarna åtgärdat är annorlunda eftersom det innebär att täcka en enhetssfär med speciellt konstruerade zoner. Specifikt är varje zon korsets korsning med en viss tredimensionell planka, där en plank är området av rymden som finns mellan två parallella plan som är symmetriska med avseende på sfärens mitt. Alternativt kan zoner definieras i geodetiskt metriskt utrymme utan att använda plankor: En breddzon ω på enhetssfärens yta är uppsättningen punkter som inte ligger längre än ω / 2 från storcirkeln eller ekvator med Avstånd mellan punkter som mäts som de kortaste bågarna som förbinder dem. Matematikerna måste hitta den minsta kombinerade bredden av sådana zoner som täcker enhetssfären. Således skiljer sig problemet från de som tidigare löstes i hur bredden mäts-den definieras som längden på en båge, snarare än det euklidiska avståndet mellan parallella linjer eller plan.

Beviset som Jiang och Polyanskii presenterade inspirerades av Bang, som löste problemet med att täcka en kropp med remsor genom att bilda en speciell ändlig uppsättning punkter i kroppen, varav den ena var förmodligen inte täckt av någon av remsorna. På ett sätt producerar både Bang och författarna ett bevis genom motsägelse. I fråga om Fejes Tóths föreställning antydde matematikerna att den sammanlagda bredden av zoner som helt täckte sfären var mindre än π och försökte komma fram till en motsättning, nämligen hitta en punkt som ligger på sfären men inte i någon av zonerna.

Författarna har visat att det är möjligt att bilda en uppsättning punkter i tredimensionellt utrymme så att minst en punkt inte täcks av de plankar som utgör zonen. Om hela denna uppsättning ligger inuti sfären är det då relativt lätt att plotta en annan punkt på sfären som inte heller omfattas av plankorna och därmed av zonerna. Om någon av punkterna i uppsättningen råkar ligga utanför sfären, visar det sig att det är möjligt att ersätta en större zon för flera mindre, vars kombinerade bredd är lika med den större zonen. Det är således möjligt att minska antalet zoner i det ursprungliga problemet utan att påverka deras kombinerade bredd. Så småningom identifieras en punkt på sfären som inte täcks av zonerna. Detta strider mot hypotesen att zonernas kombinerade bredd är mindre än π, vilket bevisar Fejes Tóths gissning.

Problemet löstes i n-dimensionellt utrymme, men författarna säger att det inte skiljer sig från fallet med tre dimensioner.

"Fejes Tóths problem har fascinerat matematiker inom diskret geometri i över 40 år", säger författare Alexandr Polyanskii vid avdelningen för diskret matematik, MIPT. "Det här problemet visade sig ha en elegant lösning som vi hade turen att hitta. Fejes Tóths problem fick oss att överväga ett annat, mer grundläggande föreställning om täckningen av en sfär genom förskjutna zoner definierade som skärningspunkten med sfären med tredimensionella plankor som inte nödvändigtvis är centralt symmetriska. "

menu
menu